湿空气动热力学理论及应用研究进展

对于干大气来说,大都属于中性或稳定状态,不存在绝对不稳定的状态,因此干大气中很少有强对流发生。干大气中只有动能、内能和位能以及它们之间的相互转换,而湿大气则明显不同。由于水汽的存在及其凝结和升华会产生潜热、云及降水,这些过程会影响到大气的稳定度,是对流发生的基本条件。所以,对湿空动力学研究进展进行总结梳理,对于气象学者进一步研究湿大气的各种天气现象的发生发展机理、预报及人工影响天气等方面均有重要意义。

1 未饱和湿空气的动热力方程

未饱和的湿空气在大气中起什么作用,对哪些物理量会产生影响,是气象工作者应当首先了解的科学问题。首先从湿空气的密度上看,其定义为(Dutton,1976)

(1.1)

其中:ρm是未饱和湿空气密度;ρd是干空气密度;ρν是水汽密度;md为干空气质量;mν是湿空气质量;V是体积。

根据Dutton定律,即混合气体中各自服从自己的状态方程,于是有,

Pd=ρdRdTd,

(1.2)

下标d表示干空气。由于水汽和空气充分混合,有Td=Tυ=T,ν表示水汽。Pd是干空气气压,e是水汽压,由(1.2)可知未饱和湿空气气压为

(1.3)

其中:pm是未饱和湿空气气压;md干空气质量;mυ是水汽质量。

定义为混合比(混合比γ一般最大只有40 kg-1,所以γ≪1),则有

(1.4)

这里Rυ/Rd是分子质量的比,即分子质量

通常还定义为比湿。

其形式与干空气相同,这样与干空气连续性方程合并则有

pm=ρmRd(1+0.61q)T。

(1.5)

定义未饱和湿空气气体常数为

Rm=(1+0.61q)Rd。

(1.6)

(1.5)式就变为

pm=ρmRmT。

(1.7)

对未饱和湿空气来说,比湿q<1,所以有

Tν=(1+0.61q)T。

(1.8)

这里Tν为虚温。

于是未饱和湿空气状态方程可写为

pm=ρmRdTν。

(1.9)

对连续性方程,有mν=ρνV(V为体积),且有

(1.10)

于是有

+ρν

(1.11)

这里利用了·v。

对干空气来说而对未饱和湿空气则不如此,因为

(1.12)

这里的q是比湿。对未饱和湿空气,因无相变发生,所以q是个守恒量,于是有

+ρν

(1.13)

则水汽的连续性方程为

+ρν·v=0。

(1.14)

但在气象学领域不使用Rm,而是选用

+ρm·v=0。

(1.15)

由于未饱和湿空气没有相变,所以质量守恒,则运动服从牛顿第二定律,因此,运动方程表示为

pm+g+F。

(1.16)

这里的F是摩擦力。

对热力能量方程,有如下考虑。其中内能可写为

Im=mded+mνeν。

(1.17)

这里的ed和eν分别是干空气与水汽的单位质量内能,由于

(1.18)

这里的CVm是定体比热。因此,可得

(1.19)

同样可求出

(1.20)

对水汽来说CVυ=1.35×107 erg/g.deg并且Cpν=1.81×107 erg/g.deg,

这样就有

(1.21)

且

Cpm=Cpd(1+0.81q)。

(1.22)

因此,热力能量方程可写为

(1.23)

表示加热率。(1.23)便是未饱和湿空气的热力能量方程。

所以,未饱和湿空气的方程组归结为:

pm+g+F，

·v=0，

pm=ρmRdTν 。

要说明的一点是,未饱和湿空气的空气密度要小于干空气的密度,这一点从状态方程可以推出。由状态方程Pm=ρmRd(1+0.61q)T可知，ρd=ρm(1+0.61q)，所以这一点很重要,因在相对湿度增高时,湿空气密度减少会造成气压梯度加大引起湿急流。关于湿空气热力学更普遍的研究结果,有兴趣的读者可参考《暴雨与暴雨之气象学》(吉崎正宪和加藤辉之,2009)一书及Andrews(2000)的《大气物理介绍》一书。

2 饱和湿空气的研究

饱和湿空气中由于存在相变与升华含有水汽,液态水及冰晶所以十分复杂,国内外在该方面多年来有许多学者都在深入探讨和追求。但由于过于复杂,至今在该方面的研究也没有一个公认的十分成功的方法与结果。早在19世纪七八十年代,我国资深学者谢义炳就带着一批年轻学者对饱和湿空气进行研究,探讨了暴雨天气动力学的问题,提出了湿斜压天气和动力学中的一些基本问题(罗汇邦和王两铭,1978;王两铭和罗汇邦,1978),给出了饱和湿空气动力学方程组和主要特征。谢义炳(1978)写出了《湿斜压大气的天气动力学》一书。与此同时,雷雨顺等(1978)用不稳定能量理论研究了夏季强风暴并提出一种分析和预报方法,还探讨了与特大暴雨有关的几个问题(雷雨顺,1980)。刘栋和高守亭(2003)研究了饱和湿大气魏萨拉频率及修正的相当位温。Ran et al.(2014)研究了湿大气的基本方程组。这些研究都与饱和湿空气有关,主要集中在19世纪七八十年代,是我国研究饱和湿空气的典型代表结果,这些研究成果为饱和湿空气的研究作出了重要贡献。在湿空气动热力学方面,国外也有很多研究,如Satoh(2003)研究了湿过程的对流方案,证明了湿大气可压缩非静力模式中的守恒格式。Ooyama(1990,2001)研究了湿大气的热动力学及位涡,同时研究了饱和湿大气的热动力学。Betts and Dugan(1973)研究了饱和湿大气中的相当位温。Bolton(1980)进一步研究了湿大气中相当位温的计算。Durran and Klemp(1982)研究湿空气的魏萨拉频率。Bannon(2002)给出了饱和湿空气的理论动力框架。Andrews(2002)给出了水汽凝结过程中所需的自由能。这些国内外的研究为加深和理解饱和湿空气的作用本质及相变过程有重要的贡献,推进了饱和湿空气热力和动力学的发展。在国内外前人研究成果的基础上,以下总结给出饱和湿空气基本方程组和饱和湿空气的热动力学方程组,为饱和湿空气的研究进一步奠定扎实的基础。

2.1 潜热和饱和水汽压

在推导饱和湿空气的热动力学方程之前,先介绍潜热和饱和水汽压。依据Kirchhoff定律和 Clausius-Clapeyron方程知:

(2.1)

其中:L是潜热;Cpν是气压不变下的水汽比热;CI是液态水比热;p*是饱和水汽压。

对(2.1)式进行积分后有:

L=Lo+(Cpν-CI)(T-To)=Loo+(Cpν-CI)T。

(2.2)

(2.3)

其中Loo=Lo+(Cpν-CI)To。

在某些数值模式中,潜热及饱和水汽压分别采取了简化形式,即L=Lo,则有

(2.4)

这里的Lo是在0 ℃时的潜热。

2.2 饱和湿空气的热动力学方程

仅对湿空气而言,其状态方程为

p=ρ(mdRd+mνRν)T。

(2.5)

用md表示干空气质量浓度；mν表示水汽质量浓度；me为液态水质量浓度，且md+mν+me=1，在质量中水物质浓度为mw=mν+me，且me包含云水和雨水，即me=mc+mr，这里mc和mr分别是云水和雨水质量浓度。

下面考虑焓,内能及熵的表达式。焓,内能及熵分别表达为

h=mdhd+mνhν+mIhI。

(2.6)

e=mded+mνeν+mIeI。

(2.7)

S=mdsd+mνsν+mIsI。

(2.8)

其中：hd=CpdT，hν=CpνT+Loo，hI=CIT，ed=CVdT，eν=CVνT+Loo，eI=CIT。

并且，

(2.9)

(2.10)

(2.11)

对应饱和湿空气的熵为

(2.12)

方程(2.12)就是饱和湿空气的热动力学方程。

2.3 饱和湿空气的连续性方程

干空气密度为ρd，水汽密度为ρν，雨滴密度为ρr，则有连续性方程为(Ooyama，2001)：

(2.13)

(2.14)

(2.15)

其中：VH是水平风速;WT是雨滴下落末速度;Qr是水汽凝结产生的源汇项。方程(2.13)、(2.14)和(2.15)相加可得

+

(2.16)

这是Ooyama(2001)给出的连续方程。这里的问题是,饱和湿空气不应包括水物质,所以饱和湿空气的密度应为ρm=ρd+ρν。而水物质是高度不可压的，所以应有

这样就有

·V=0。

(2.17)

·V=-Qr。

(2.18)

(2.19)

由于即水物质为高度不可压流体。则方程

(2.17)、(2.18)和(2.19)相加的结果为

·V+ρr

(2.20)

如果忽略雨滴密度沿垂直方向上的变化，则有

·V=-ρr

(2.21)

方程(2.21)才是饱和湿空气的连续性方程。由于水汽凝结及水平方向的辐散辐合,加之垂直运动的变化,结果造成饱和湿空气出现明显的质量不守恒。

2.4 饱和湿空气的动量方程

对饱和湿空气也同样遵循动量守恒定律,即动量的个别变化等于所有力之和,其数学表达式为进而可展开为

(2.22)

其中Fi代表某种力，如气压梯度力、重力等。

从(2.22)式便可看出，如果=0则为干空气的动量方程形式，在饱和湿空气中这是由连续性方程来表达的。由此可得出，只要用质量守恒下的(这是一种假设)运动方程，同连续性方程相结合即可得到动量方程(2.25)。所以在运动方程两边乘以饱和湿空气的密度ρm，并与乘以速度V的饱和湿空气连续性方程相结合便可得到饱和湿空气的水平动量方程为：

-HP+ρmFH-VHρr·V 。

(2.23)

而垂直方向上的动量方程可写为

·V+Fz。

(2.24)

这里的W是垂直速度，FH及FZ分别表示水平及垂直方向上的摩擦力。

2.5 饱和湿空气的能量方程

Ooyama(2001)给出了饱和湿空气的能量方程,具体写为

·[(K+Φ+P)VH]+

(2.25)

其中：K=ρm(VH2+W2)/2；Φ=gρmz，Kr=ρr(VH2+W2)/2；Φr=ρrgz。

2.6 饱和湿空气的位涡方程

首先,重写饱和湿空气的连续方程为(Schubert et al.,2001)

+·(ρmV+ρrWTk)=0。

(2.26)

这里WT是雨滴相对于饱和湿空气的速度，ρr·V=0被略去。

其动量方程可简写为

+ξ∧V+P=F。

(2.27)

在此基础上，利用·(a∧b)=b·∧a-a·(∧b)及·(Aa)=A·a+a·A。这里a和b是任意一矢向量。令a=于是有=-因为∧Ψ=0，这里ξ=zΩ+∧V是绝对涡度。如果选并且a=ξ,于是有因为·ξ=0。由这两个结果的差可得：

(2.28)

定义Ψ，并利用关系式

ξ(V·Ψ)=V(ξ·Ψ)+Ψ∧(ξ∧V)，

则有

(ξ·Ψ)+

ξ·

(2.29)

利用连续性方程消去·V，则由方程(2.32)可得

Ψ)+·[

ξ·Ψ)·(ρrWTk)。

(2.30)

方程(2.33)与动量方程相结合，且由于·(A∧B)=0对任何标量函数A和B都适用。那么，方程(2.30)式可约化到

Ψ·(ρm∧P)+(∧F)·

Ψ+ξ··(ρrWTk)。

(2.31)

若标量函数Ψ取为饱和湿空气位温，其定义为

(2.32)

那么(2.34)式即变为

(2.33)

方程(2.33)式就是饱和湿空气的位涡方程，或叫作有质量强迫的位涡方程。其中θe为饱和湿空气位涡。

3 非均匀饱和湿大气的研究

3.1 非均匀饱和湿空气

实际大气既不是处处都是干空气,也不是处处都是饱和湿空气,纯干大气和纯饱和湿大气只是两种极端情况。实际大气是由干空气及水汽组成,在温压适合条件有些地方水汽饱和了,有的地方水汽没有饱和即是非均匀饱和湿大气,这种非均匀饱和不仅在较大的空间范围内,即使在云里,在雾里饱和也是不均匀的,所以通常会出现轻雾和浓雾,它们当中水汽的饱和程度是不一样的也是非均匀的。非均匀饱和概念以往在国际上是没有的,可以说是我国气象学家的原创性成果。最早提出这一概念的是安徽省气象科学研究所的王兴荣研究员,并在该方向发表了相关论文(王兴荣和吴可军,1995;王兴荣等,1997,1999;王兴荣和魏鸣,2007),以下介绍非均匀饱和大气运动方程组。

3.2 非均匀饱和湿大气中的热力学方程

非均匀饱和大气中释放的凝结潜热可表示为

(3.1)

其中：qs是饱和比湿；q是实际比湿；是相对湿度；k值取为9，即水汽的凝结过程是随着相对湿度的增加而增加。在常态情况下，由于大气中存在着凝结核(气溶胶)，一般相对湿度达到78%时就出现凝结，出现凝结时会有潜热释放，因此凝结潜热表示成(3.1)式的形式，就是凝结概率函数。根据热力学第一定律则有

(3.2)

这里Cpm和Rm分别是湿空气的等压比热和湿空气的气体常数。方程(3.2)可进一步写成

(3.3)

对(3.3)式进行积分，并利用且取指数运算，可得

(3.4)

即

(3.5)

因非均匀饱和湿空气的熵S*可表示为

S*=Cpmlnθ*。

(3.6)

则熵的个别变化等于加热率，因此有

(3.7)

方程(3.7)便是非均匀饱和湿大气的热力方程。

3.3 非均匀饱和湿大气中的连续性方程

非均匀饱和湿空气中的干空气有

+

(3.8)

对水汽而言仍有

+

(3.9)

对水凝物而言(主要是雨滴)有

(3.10)

由于雨滴是高度不可压的，故则(3.10)式为

(3.11)

方程(3.8)，(3.9)及(3.11)相加则有非均匀饱和湿空气连续性方程为

+

(3.12)

3.4 非均匀饱和湿大气中的动量方程

非均匀饱和湿空气中的动量方程与饱和湿空气的动量方程形式相似,但在含有ρr的项中要加上凝结概率函数如此，则有水平动量方程为

·VH。

(3.13)

而其垂直方向上的动量方程为

+

·V+ρmFz。

(3.14)

由以上给出的结果可以对比看出饱和湿空气动量方程与非均匀饱和湿空气动量方程的最大区别在于,在饱和湿大气中,由于水汽处处饱和,则凝结处处出现,但在非均匀饱和湿大气中,凝结的发生是与相对湿度的k次方有关,即与凝结概率函数的大小有关,正因如此,才出现了非均匀饱和。把凝结概率函数的分布场画出来,就可以看出湿大气中非均匀饱和的程度。最近,Wang and Feng(2015) 和Wang and Huang(2018)通过引入比水和最大气载比水概念,改进了非均匀饱和湿空气的动力方程,但是仅限于理论发展,还缺乏实际天气过程的验证。

4 大气动热力物理量及其组合的动力因子在实际天气分析中的应用

对大尺度系统来说，由于系统中发生饱和湿空气的区域较小，整体看可按未饱和湿空气，甚至视为干空气来处理。也就是用干大气动热力方程组来研究就行了。在热动力学方面用干位温来表达，或用熵S=cplnθ+c来表达，在绝热情况下有=0或在非绝热情况下有来表达。这些在研究大尺度运动中是有效的。在动力方面，用干大气动量方程就可以了，保持了质量守恒，并由动量方程的转化方程即涡度方程可推导出大尺度运动中的位涡方程，表达式为对未饱和湿空气而言，与干空气的主要区别在于用虚温Tν代替了干空气温度T，所以满足质量守恒，在所有方程中只把干空气温度用虚温来代替就行了，其结果与干空气动热力学结果十分接近，没有本质区别。

饱和湿空气就不一样了，由于水汽饱和会凝结出雨滴甚至出现冰晶等凝聚物，这些凝聚物在湿空气中出现相对运动，如雨滴下落产生下落末速度等，这样也产生了湿空气质量的不守恒，对这种饱和湿空气动热力方程都与干大气动热力学方程不同，饱和湿空气热力学中的位温叫相当位温，表达式为其对应的位涡称湿位涡(表达式为且连续方程中质量不守恒，出现了由雨滴下落而产生的质量强迫，并把这种效应代进了动量方程中。饱和湿大气也是实际大气的一种极端情况，实际大气是非均匀饱和的，所以用饱和湿大气推导出的物理量来诊断大气实际现象会出现虚假不真实的情况，不能真正描述实际大气的变化及演变。正因如此，非均匀饱和湿大气的动热力学方程组才是最能真实描述实际大气运动及热力变化的方程组。表征非均匀饱和大气的物理量如广义位温，表达式为由此，Gao et al.(2004)提出了基于广义位温的广义位涡在暴雨、高温高湿天气、低涡或台风的移动等等研究中得到广泛应用(段廷扬等，2007；周玉淑等，2007；周玉淑，2009)。基于描述大气运动的基本动热力物理量，结合天气系统发生发展的动热力过程得到的动力因子(高守亭等，2013)在实际高影响天气的分析和预报中得到了很好的应用。

在暴雨分析和预报方面,Cao et al.(2011)给出了广义位温的图像解释。周玉淑和朱科峰(2010)针对2003年江淮流域暴雨过程、2004年华北一次暴雨过程以及2006年碧利斯台风(图1)中的位温、相当位温和广义位温分布的对比分析表明:即使是在暴雨系统中,湿空气的相对湿度也达不到100%,饱和湿空气相当位温的引入条件不能完全满足。而广义位温的定义用一个表达式就可以表示出干大气、未饱和湿大气以及饱和湿大气这三种大气状态的位温,而位温和相当位温则是广义位温的特殊情况。除了可以衔接干大气位温和饱和湿大气的相当位温外,广义位温包含了水汽由干到湿再到饱和的变化过程,更好地体现了大气中水汽的实际分布和变化特征。

图1 2006年7月12日00时碧利斯台风的位温(实线)及相对湿度(虚线)(a)、相当位温(b)和广义位温(c)沿129°E剖面(单位:K)(周玉淑和朱科峰,2010)
Fig.1 (a)The cross-sections of potential temperature(solid in) and relative humidity(dashed line),(b)equivalent potential temperature and (c)generalized potential temperature along 129°E at 0000 UTC 12 July,2006 (unit:K) (Zhou and Zhu,2010)

图2 2009年8月7日18时(a),8日18时(b)和9日18时(c)波作用密度A(等值线,10-6 K·m-1·s-1)沿着119°E的经向-垂直剖面的分布(灰色直方图代表观测的6 h累积降水,单位:mm)(冉令坤等,2013)
Fig.2 (a)The meridional-vertical cross-section of A(unit:10-6 K·m-1·s-1) at 1800 UTC 7 Aug,(b)1800 UTC 8 Aug,and (c)1800 UTC 9 Aug along 119°E,where the gray thin bar denotes the observation of 6 h accumulated surface rainfall(unit:mm)(Ran et al.,2013)

有关动力因子在暴雨研究中的应用分析有很多,如:Yang and Wang(2009)及冉令坤等(2011)及孙颖姝等(2019)利用对流涡度矢量、湿热力平流参数和波作用密度等动力因子对暴雨或强对流降水过程进行的诊断分析表明,这些动力因子能够综合描述降水系统水平风场垂直切变与涡度扰动以及位温平流和广义位温及其扰动的经向梯度等动力学和热力学特征,在降水区对流层中低层表现为强信号,在非降水区表现为弱信号,对观测降水有很好的指示作用,用动力因子定义的相当降水量来评估动力因子的预报效果也表明动力因子对降水也有一定的预报效果。Yang and Gao(2006,2014)、Yang et al.(2007a,2007b,2014a,2014b)将广义位温引入暴雨过程的里查逊数、Q矢量及锋生函数的研究中,在暴雨诊断分析中也得到不错的结果。此外,对流涡度矢量、热力切变平流参数、波作用密度等动力因子(赵宇和高守亭,2008;齐彦斌等,2010;王培等,2012;冉令坤等,2013,2014;王成鑫等,2013;李琴等,2016)可反映大气运动中的强垂直上升运动、切变及波动活动特性等,在我国不同地区暴雨诊断和机理分析中也有较好的效果。在登陆台风暴雨的分析中,如图2所示(冉令坤等,2013),2009年莫拉克台风刚登陆台湾岛,西侧眼墙位于台湾海峡,大陆地区受其影响较小,闽浙沿海有少量降水,并伴有波作用密度低值区,代表较弱的扰动热量输送。8日1800 UTC,台风移入台湾海峡,其西侧眼墙覆盖大陆,降水增大,波作用密度明显增大,两个高值中心分别位于27°N上空3 km和6 km高度附近。该高值中心主要由扰动纬向风的垂直切变和扰动广义位温的纬向梯度造成,代表降水区有较强的扰动热量的纬向输送。9日1800(世界时，下同),台风登陆后,波作用密度明显减小,扰动热量输送减弱。波作用密度所描述的扰动热量输送主要出现在降水区对流层中低层,随台风登陆而逐渐减弱,该扰动输送使得广义位温垂直梯度的局地变化减小,进而导致位势稳定度的变化趋缓。

在非均匀饱和大气位涡的扩展研究方面,高守亭(2007)指出,湿大气中还可以出现水汽位涡,表达式为因为水汽分布不均匀,所以有些地方水汽梯度明显,由此产生的水汽位涡在诊断台风移动路径等方面有很好的示踪应用。同时,考虑广义位涡梯度效应推导的二阶位涡(Gao et al.,2014;Li et al.,2016)在暴雨诊断方面也有较好应用。

5 总结和讨论

目前,湿空气动热力学的研究,主要从天气系统发展演变过程中的动热力方程、热量方程、能量方程等进行诊断和理论解释,并把这些方程用于暴雨、台风、强对流飑线、冰雹、大风、高温热浪、雾等各类不同的高影响天气过程的分析和预报。在气象学者们持之以恒的努力下,经过几十年的发展,湿空气动力学的研究经历了未饱和湿大气、饱和湿大气再到非均匀饱和湿大气的历程,对大气动热力状态及演变过程的描述,逐渐从理想状态向真实状况靠近,在描述湿大气的热力相变状态方面取得了长足进展。水汽凝结几率函数的引入,弥补了干大气与饱和湿大气之间的过渡状态,对水汽相变过程的描述与实际大气观测得到的凝结现象更为一致。

湿大气的研究,一定离不开水汽相变问题的描述。目前的水汽凝结几率函数的引入,对水汽相变的描述较饱和湿大气更好,但是其幂指数的取值问题还是通过统计后给出,不同的天气过程中可能最佳值并不一样,如何克服这个问题,或者是否有其他函数来更好描述湿大气中真实的水汽相变过程,仍然是湿空气动力学研究需要重点考虑的内容。